Lokal - Global - Fraktal

Zielsetzung / Objectifs

Wissen
Die Teilnehmer/-innen kennen:
- das Heron-Verfahren (auch Babylonisches Wurzelziehen genannt) zur näherungsweisen Berechnung von Wurzeln positiver Zahlen
- das Newton-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen einer Funktion
- Eigenschaften dieser Verfahren
- lokales und globales Verhalten dieser Verfahren, sowie deren Zusammenhang zu Fraktalen
- das Newton Fraktal
- die Mandelbrot Meng.

Fähigkeiten
Die Teilnehmer/-innen sind in der Lage:
- ein tiefergehendes Verständnis der behandelten Verfahren und Konzepte zu erlangen und diese anzuwenden
- die vorgestellten Verfahren und Konzepte im Rahmen des Schulunterrichtes zu behandeln.

Haltung
Die Teilnehmer/-innen erwägen, die in der Weiterbildung behandelten Ideen und Konzepte in den Schulunterricht einfließen zu lassen.

Inhalt / Contenu

Ein klassisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Wurzeln positiver Zahlen ist das Heron-Verfahren (auch Babylonisches Wurzelziehen genannt). Das auf einer iterativ definierten Folge beruhende Verfahren erweist sich als sehr effizient. Ähnlich und allgemeiner verwendet man heute oft Newton-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen einer Funktion f. Das Heron-Verfahren ergibt sich als Spezialfall mit f(x)=x^2-a. Während das Newton-Verfahren lokal, also bei Startpunkten "genügend nahe" an Lösungen, sehr schnell konvergiert, ist die Frage, wie der Startpunkt zu wählen ist, im Allgemeinen schwer zu beantworten. Das globale Verhalten des Verfahrens, also das Verhalten in Abhängigkeit der Startwerte, ist schon bei einfachen Funktionen f extrem kompliziert. Die Menge der "schlechten" Startwerte zeigt typischerweise eine sogenannte fraktale Struktur. Ein bekanntes Beispiel ist das Newton-Fraktal, bestehend aus den Startwerten in der komplexen Zahlenebene, für die das Verfahren, angewandt auf das Polynom f(z)=z^3-1, nicht konvergiert.

Eine weitere "Ikone" der fraktalen Geometrie ist die Mandelbrot-Menge, definiert als die Menge derjenigen (komplexen) Zahlen c, für die die Iterierten des Startpunktes 0 unter dem Polynom f(z)=z^2 + c beschränkt bleiben. Während die Definition der Mandelbrot-Menge sehr einfach ist, zeigt sich auch hier, dass die Struktur in vielerlei Hinsicht sehr kompliziert und bis heute in Teilen unverstanden ist. Einige Fragen in diesem Zusammenhang werden skizziert.

Arbeitsformen / Approche méthodologique

- Vortrag mit ergänzenden Erklärungen und Beispielen, sowie Bildmaterial zu den behandelten Fraktalen
- Möglichkeit einer anschließenden Diskussion.

Referent, Referentin / Formateur, formatrice

Jürgen Müller, Prof. Dr., Fachbereich IV - Mathematik, Universität Trier