Lokal - Global - Fraktal
(Code : D2-a-25)
Zielsetzung / Objectifs
Wissen
Die Teilnehmer/-innen kennen:
- Das Heron-Verfahren (auch Babylonisches Wurzelziehen genannt) zur näherungsweisen Berechnung von Wurzeln positiver Zahlen
- Das Newton-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen einer Funktion
- Eigenschaften dieser Verfahren
- Lokales und globales Verhalten dieser Verfahren, sowie deren Zusammenhang zu Fraktalen
- Das Newton Fraktal
- Die Mandelbrot Menge
Fähigkeiten
Die Teilnehmer/-innen sind in der Lage:
- Ein tiefergehendes Verständnis der behandelten Verfahren und Konzepte zu erlangen und diese anzuwenden
- Die vorgestellten Verfahren und Konzepte im Rahmen des Schulunterrichtes zu behandeln
Haltung
Die Teilnehmer/-innen:
- erwägen, die in der Weiterbildung behandelten Ideen und Konzepte in den Schulunterricht einfließen zu lassen
Inhalt / Contenu
Ein klassisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Wurzeln positiver Zahlen ist das Heron-Verfahren (auch Babylonisches Wurzelziehen genannt). Das auf einer iterativ definierten Folge beruhende Verfahren erweist sich als sehr effizient. Ähnlich und allgemeiner verwendet man heute oft Newton-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen einer Funktion f. Das Heron-Verfahren ergibt sich als Spezialfall mit f(x)=x^2-a. Während das Newton-Verfahren lokal, also bei Startpunkten "genügend nahe" an Lösungen, sehr schnell konvergiert, ist die Frage, wie der Startpunkt zu wählen ist, im Allgemeinen schwer zu beantworten. Das globale Verhalten des Verfahrens, also das Verhalten in Abhängigkeit der Startwerte, ist schon bei einfachen Funktionen f extrem kompliziert. Die Menge der "schlechten" Startwerte zeigt typischerweise eine sogenannte fraktale Struktur. Ein bekanntes Beispiel ist das Newton-Fraktal, bestehend aus den Startwerten in der komplexen Zahlenebene, für die das Verfahren angewandt auf das Polynom f(z)=z^3-1 nicht konvergiert.
Eine weitere "Ikone" der fraktalen Geometrie ist die Mandelbrot-Menge, definiert als die Menge derjenigen (komplexen) Zahlen c, für die die Iterierten des Startpunktes 0 unter dem Polynom f(z)=z^2 + c beschränkt bleiben. Während die Definition der Mandelbrot-Menge sehr einfach ist, zeigt sich auch hier, dass die Struktur in vielerlei Hinsicht sehr kompliziert und bis heute in Teilen unverstanden ist. Einige Fragen in diesem Zusammenhang werden skizziert.
Arbeitsformen / Approche méthodologique
- Vortrag mit ergänzenden Erklärungen und Beispielen, sowie Bildmaterial zu den behandelten Fraktalen
- Möglichkeit einer anschließenden Diskussion
Referent, Referentin / Formateur, formatrice
Jürgen Müller, Prof. Dr., Fachbereich IV - Mathematik, Universität Trier
Remarques / Anmerkung
Diese Weiterbildung richtet sich an alle Sekundarschullehrer des Faches Mathematik und angrenzender Fächer, sowie mathematisch interessierte Lehrer anderer Disziplinen.
Termin / Date et horaire
Groupe A
Modalité : | Présentiel |
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Date : | le mardi 19 mai 2020 de 16 à 18 heures |
Lieu : | Maison du Savoir - Esch-Belval - MSA 3.160 |
Nombre max. de participants : | 90 |
Places disponibles : | 0 |
Statut de la formation : | Formation annulée |
Délai d'inscription : | - |
Public cible
Contexte professionnel : | [ES] Enseignement secondaire |
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Catégorie de fonction : | Personnel enseignant |
Informations complémentaires : | personnel enseignant de mathématiques |
Praktische Hinweise / Informations pratiques
Langue(s) : | Deutsch |
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Prérequis : | Für diese Weiterbildung sind keine besonderen Vorkenntnisse erforderlich. |
Informations : | Institut de formation de l’Éducation nationale |
Organisation : | formation organisée en coopération avec le Scienteens Lab (Universität Luxemburg) |